Eine Zufallsvariable ist eine numerische Beschreibung des Ergebnisses eines statistischen Experiments. Eine Zufallsvariable, die nur eine endliche Zahl oder ein . annehmen darf unendlich Folge von Werten wird als diskret bezeichnet; eine, die jeden Wert in einem Intervall auf der reellen Zahlengerade annehmen kann, wird als kontinuierlich bezeichnet. Zum Beispiel wäre eine Zufallsvariable, die die Anzahl der an einem Tag bei einem bestimmten Händler verkauften Autos repräsentiert, diskret, während eine Zufallsvariable, die das Gewicht einer Person in Kilogramm (oder Pfund) repräsentiert, kontinuierlich wäre.
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung für eine Zufallsvariable beschreibt, wie die Wahrscheinlichkeiten über die Werte der Zufallsvariablen verteilt sind. Für eine diskrete Zufallsvariable gilt: x , wird die Wahrscheinlichkeitsverteilung durch eine Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion definiert, die mit bezeichnet wird f ( x ). Diese Funktion liefert die Wahrscheinlichkeit für jeden Wert der Zufallsvariablen. Bei der Entwicklung der Wahrscheinlichkeitsfunktion für eine diskrete Zufallsvariable müssen zwei Bedingungen erfüllt sein: (1) f ( x ) muss für jeden Wert der Zufallsvariablen nicht negativ sein, und (2) die Summe der Wahrscheinlichkeiten für jeden Wert der Zufallsvariablen muss gleich eins sein.
Eine kontinuierliche Zufallsvariable kann einen beliebigen Wert in einem Intervall auf dem reellen Zahlenstrahl oder in einer Sammlung von Intervallen annehmen. Da es in jedem Intervall unendlich viele Werte gibt, ist es nicht sinnvoll, über die Wahrscheinlichkeit zu sprechen, dass die Zufallsvariable einen bestimmten Wert annimmt; stattdessen wird die Wahrscheinlichkeit betrachtet, dass eine kontinuierliche Zufallsvariable innerhalb eines bestimmten Intervalls liegt.
Im kontinuierlichen Fall ist das Gegenstück zur Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion , auch bezeichnet als f ( x ). Für eine kontinuierliche Zufallsvariable liefert die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion die Höhe oder den Wert der Funktion bei einem bestimmten Wert von x ; sie gibt nicht direkt die Wahrscheinlichkeit an, dass die Zufallsvariable einen bestimmten Wert annimmt. Die Fläche unter dem Graphen von f ( x ) entsprechend einem Intervall, erhalten durch Berechnen des Integrals von f ( x ) über dieses Intervall gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass die Variable einen Wert innerhalb dieses Intervalls annimmt. Eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion muss zwei Anforderungen erfüllen: (1) f ( x ) muss für jeden Wert der Zufallsvariablen nicht negativ sein, und (2) die Integral- über alle Werte der Zufallsvariablen muss gleich eins sein.
Der erwartete Wert oder Mittelwert einer Zufallsvariablen – bezeichnet mit IS ( x ) oder μ – ist ein gewichteter Durchschnitt der Werte, die die Zufallsvariable annehmen kann. Im diskreten Fall werden die Gewichte durch die Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion und im kontinuierlichen Fall durch die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion angegeben. Die Formeln zur Berechnung der Erwartungswerte diskreter und kontinuierlicher Zufallsvariablen sind durch die Gleichungen 2 bzw. 3 gegeben.
IS ( x ) = x f ( x ) (zwei)
IS ( x ) = x f ( x ) d x (3)
Die Varianz einer Zufallsvariablen, bezeichnet mit Var( x ) oder σzwei, ist ein gewichteter Durchschnitt der quadrierten Abweichungen vom Mittelwert. Im diskreten Fall werden die Gewichte durch die Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion und im kontinuierlichen Fall durch die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion angegeben. Die Formeln zur Berechnung der Varianzen diskreter und kontinuierlicher Zufallsvariablen sind durch die Gleichungen 4 bzw. 5 gegeben. Das Standardabweichung , mit bezeichnet, ist die positive Quadratwurzel der Varianz. Da die Standardabweichung in den gleichen Einheiten wie die Zufallsvariable gemessen wird und die Varianz in quadrierten Einheiten gemessen wird, ist die Standardabweichung oft das bevorzugte Maß.
Wo( x ) =zwei= Σ ( x - μ)zwei f ( x ) (4)
Wo( x ) =zwei= ∫ ( x - μ)zwei f ( x ) d x (5)
Zwei der am häufigsten verwendeten diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen sind die Binomialverteilung und die Poisson-Verteilung. Die binomiale Wahrscheinlichkeits-Massenfunktion (Gleichung 6) liefert die Wahrscheinlichkeit, dass x Erfolge werden eintreten in nein Versuche eines binomialen Experiments.
Ein binomiales Experiment hat vier Eigenschaften: (1) es besteht aus einer Folge von nein identische Versuche; (2) bei jedem Versuch sind zwei Ergebnisse, Erfolg oder Misserfolg, möglich; (3) die Erfolgswahrscheinlichkeit bei einem Versuch, bezeichnet als p , ändert sich nicht von Versuch zu Versuch; und (4) die Versuche sind unabhängig. Angenommen, es ist bekannt, dass 10 Prozent der Besitzer von zwei Jahre alten Autos Probleme mit der elektrischen Anlage ihres Autos hatten. Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, aus einer Gruppe von 10 Besitzern genau 2 Besitzer zu finden, die Probleme mit dem elektrischen System hatten, kann die binomiale Wahrscheinlichkeits-Massenfunktion verwendet werden, indem nein = 10, x = 2, und p = 0,1 in Gleichung 6; für diesen Fall beträgt die Wahrscheinlichkeit 0,1937.
Die Poisson-Wahrscheinlichkeitsverteilung wird häufig als Modell für die Anzahl der Ankünfte in einer Einrichtung innerhalb eines bestimmten Zeitraums verwendet. Beispielsweise könnte eine Zufallsvariable als die Anzahl der Telefonanrufe definiert werden, die während eines Zeitraums von 15 Minuten bei einem Reservierungssystem einer Fluggesellschaft eingehen. Wenn die mittlere Anzahl der Ankünfte während eines 15-Minuten-Intervalls bekannt ist, kann die Poisson-Wahrscheinlichkeits-Massenfunktion aus Gleichung 7 verwendet werden, um die Wahrscheinlichkeit von . zu berechnen x Ankunft.
Angenommen, die durchschnittliche Anzahl der Anrufe, die in einem Zeitraum von 15 Minuten eintreffen, beträgt 10. Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass innerhalb der nächsten 15 Minuten 5 Anrufe eingehen, gilt μ = 10 und x = 5 werden in Gleichung 7 eingesetzt, was eine Wahrscheinlichkeit von 0,0378 ergibt.
Die am häufigsten verwendete kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung in der Statistik ist die normale Wahrscheinlichkeitsverteilung. Der Graph, der einer normalen Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion mit einem Mittelwert von μ = 50 und einer Standardabweichung von σ = 5 entspricht, ist in gezeigtFigur 3. Wie alle Normalverteilungsgraphen handelt es sich um eine glockenförmige Kurve. Wahrscheinlichkeiten für die normale Wahrscheinlichkeitsverteilung können unter Verwendung statistischer Tabellen für die normale Wahrscheinlichkeitsverteilung berechnet werden, die eine normale Wahrscheinlichkeitsverteilung mit einem Mittelwert von null und einer Standardabweichung von eins ist. Eine einfache mathematische Formel wird verwendet, um einen beliebigen Wert aus einer normalen Wahrscheinlichkeitsverteilung mit dem Mittelwert μ und einer Standardabweichung σ in einen entsprechenden Wert für eine Standardnormalverteilung umzuwandeln. Die Tabellen für die Standardnormalverteilung werden dann verwendet, um die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten zu berechnen.
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normale Wahrscheinlichkeitsverteilung Abbildung 3: Eine normale Wahrscheinlichkeitsverteilung mit einem Mittelwert ( μ ) von 50 und einer Standardabweichung ( σ ) von 5. Encyclopædia Britannica, Inc.
Es gibt viele andere diskrete und kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Andere weit verbreitete diskrete Verteilungen umfassen die geometrische, die hypergeometrische und die negative Binomialverteilung; andere häufig verwendete kontinuierliche Verteilungen sind die gleichmäßige, exponentielle, Gamma-, Chi-Quadrat-, Beta-, t , und F.
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