Derivat , in der Mathematik die Änderungsrate von a Funktion in Bezug auf eine Variable. Derivate sind grundlegend für die Lösung von Problemen in Infinitesimalrechnung und Differentialgleichungen. Im Allgemeinen beobachten Wissenschaftler sich verändernde Systeme ( dynamische Systeme ) um die Änderungsrate von einigen zu erhalten Variable von Interesse , füge diese Information in eine Differentialgleichung ein und verwende Integration Techniken, um eine Funktion zu erhalten, die verwendet werden kann, um das Verhalten des ursprünglichen Systems unter vielfältig Bedingungen.
Geometrisch kann die Ableitung einer Funktion als Steigung des Funktionsgraphen interpretiert werden oder genauer als Steigung der Tangente Linie an einem Punkt. Seine Berechnung leitet sich tatsächlich von der Steigungsformel für eine Gerade ab, außer dass a begrenzend Verfahren muss für Kurven verwendet werden. Die Steigung wird oft als Anstieg über den Lauf oder, kartesisch ausgedrückt, als Verhältnis der Änderung von Ja zur Änderung in x . Für die in der gezeigte GeradeZahl, die Formel für die Steigung ist ( Ja 1- Ja 0) / ( x 1- x 0). Eine andere Möglichkeit, diese Formel auszudrücken, ist [ f ( x 0+ ha ) - f ( x 0)] / ha , wenn ha wird verwendet für x 1- x 0und f ( x ) zum Ja . Diese Änderung der Notation ist nützlich, um von der Idee der Steigung einer Geraden zum allgemeineren Konzept der Ableitung einer Funktion überzugehen.
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Steigung einer Geraden Zwei Punkte, wie ( x 0, Ja 0) und ( x 1, Ja 1), bestimmen Sie die Steigung einer Geraden. Encyclopædia Britannica, Inc.
Bei einer Kurve hängt dieses Verhältnis davon ab, wo die Punkte gewählt werden, da Kurven keine konstante Steigung haben. Um die Steigung an einem gewünschten Punkt zu finden, stellt die Wahl des zweiten Punktes, der zur Berechnung des Verhältnisses benötigt wird, eine Schwierigkeit dar, da das Verhältnis im Allgemeinen nur eine durchschnittliche Steigung zwischen den Punkten darstellt und nicht die tatsächliche Steigung an einem der Punkte ( sehen Zahl). Um diese Schwierigkeit zu umgehen, a begrenzend Es wird ein Verfahren verwendet, bei dem der zweite Punkt nicht fest ist, sondern durch eine Variable angegeben wird, da ha im Verhältnis für die obige Gerade. Suche nach Grenze In diesem Fall wird eine Zahl gefunden, der sich das Verhältnis nähert als ha nähert sich 0, so dass das Grenzverhältnis die tatsächliche Steigung an dem gegebenen Punkt darstellt. Einige Manipulationen müssen am Quotienten [ f ( x 0+ ha ) - f ( x 0)] / ha damit es in einer Form umgeschrieben werden kann, in der der Grenzwert als ha nähert sich 0 direkter. Betrachten Sie zum Beispiel die Parabel von x zwei. Bei der Ermittlung der Ableitung von x zweiwann x 2 ist, ist der Quotient [(2 + ha )zwei- 2zwei] / ha . Durch Erweitern des Zählers wird der Quotient zu (4 + 4 ha + ha zwei- 4) / ha = (4 ha + ha zwei) / ha . Zähler und Nenner nähern sich immer noch 0, aber wenn ha ist nicht wirklich Null, sondern nur sehr nah dran, dann ha kann aufgeteilt werden, ergibt 4 + ha , die sich leicht 4 nähert, da ha nähert sich 0.
Warum war die Entscheidung des braunen Bildungsausschusses wichtig?
Steigung einer Kurve Die Steigung oder momentane Änderungsrate einer Kurve an einem bestimmten Punkt ( x 0, f ( x 0)) kann bestimmt werden, indem man als zweiten Punkt die Grenze der durchschnittlichen Änderungsrate beobachtet ( x 0+ ha , f ( x 0+ ha )) nähert sich dem ursprünglichen Punkt. Encyclopædia Britannica, Inc.
Zusammenfassend lässt sich sagen, dass die Ableitung von f ( x ) beim x 0, geschrieben als f ( x 0), ( d f / d x ) ( x 0), oder D f ( x 0), ist definiert als wenn diese Grenze existiert.
Die Differenzierung – d. h. die Berechnung der Ableitung – erfordert selten die Verwendung der grundlegenden Definition, sondern kann stattdessen durch die Kenntnis der drei grundlegenden Ableitungen, die Verwendung von vier Operationsregeln und die Kenntnis der Manipulation von Funktionen erreicht werden.
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